bullet22.9 Distribución de Poisson

 

            Esta distribución debe su nombre al matemático francés Simón Poisson (1781-1840), quien estableció su modelo.

 

            Existen fenómenos o experimentos en los que los eventos ocurren en intervalos continuos de tiempo o espacio (áreas y volúmenes), donde sólo importa la ocurrencia del fenómeno, ya que la no ocurrencia no tiene sentido. Por ejemplo, si en cierta región ocurren en promedio 2 terremotos por año, la variable aleatoria será el número de terremotos por año y es claro que no tiene sentido hablar del número de no terremotos por año. Lo mismo sucede para otros fenómenos, como el número de errores en una página, derrumbes anuales en una región montañosa, accidentes de tráfico diarios en cierto crucero, personas atendidas en un banco en un período de 10 minutos, partículas de polvo en cierto volumen de aire, nacimientos de niños en un periodo de tiempo, rayos que caen en una tormenta, llamadas que llegan a un conmutados telefónico en un minuto, insectos por planta en un cultivo, etc. También es de importancia mencionar que cada ocurrencia puede considerarse como un evento en un intervalo de tiempo determinado.

 

Si consideramos que:

 

1.        La esperanza de ocurrencia de un evento en un intervalo es la misma que la esperanza de ocurrencia del evento en otro intervalo cualesquiera, sin importar donde empiece el intervalo

2.        Que las ocurrencias de los eventos son independientes, sin importar donde ocurran

3.        Que la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tiempo depende de la longitud del intervalo

4.        Que las condiciones del experimento no varían, y

5.        Que nos interesa analizar el número promedio de ocurrencias en el intervalo

 

entonces se puede afirmar, que la variable aleatoria mencionada en los fenómenos descritos es una variable de Poisson.

 

 

Características de la Distribución de Poisson

 

Un modelo de probabilidad de Poisson tiene las siguientes características:

 

1.    El espacio muestral se genera por un número muy grande (puede considerarse infinito) de repeticiones de un experimento cuyo modelo de probabilidad es el de Bernoulli, con probabilidad de éxito muy pequeña. Por esta razón, a la distribución de Poisson suele llamársele de eventos raros. Las repeticiones del experimento de Bernoulli se realizan en cada uno de los puntos de un intervalo de tiempo o espacio.

 

2.    El número de éxitos en el intervalo li es ajeno al número de éxitos en el intervalo lk, por lo que  li Ç lk = f

 

3.    La probabilidad de que se tengan dos o más éxitos en el mismo punto del intervalo es cero.

 

4.    El número promedio de éxitos en un intervalo es una constante l, que no cambia de intervalo a intervalo.

 

Para aclarar el significado de estos 4 postulados, se presenta el siguiente ejemplo.

 

Ejemplo 5. 16. Anteriormente se mencionó el número de accidentes diarios en un cruce de calles como un caso de fenómeno en el que los eventos ocurren en intervalos continuos de tiempo, donde sólo importa la ocurrencia del fenómeno, y de acuerdo a sus características puede decirse que la variable aleatoria del número de accidentes diarios puede representarse por un modelo de Poisson. En seguida analizamos lo razonable de los 4 postulados anteriores en esta situación:

 

1.    Si consideramos un lapso, tan pequeño como se quiera, pero que para propósitos prácticos puede ser un segundo y tomamos como éxito que ocurra un accidente en ese lapso, tenemos que en el intervalo de tiempo de un día hay 86,400 segundos, o sean 86,400 repeticiones de un experimento de Bernoulli. Es obvio que la probabilidad de éxito en cada repetición es muy pequeña.

 

2.    Aquí, cada intervalo li puede ser un día, por lo que es lógico suponer que el número de accidentes en un día es independiente del número de accidentes en otro día cualquiera, lo cual no ocurre, por ejemplo, con el número de personas que adoptan una moda en un día determinado, ya que una moda tiene una etapa creciente, un apogeo y una etapa decreciente. En estas últimas condiciones, se dice que existe contagio y el modelo de probabilidad no puede suponer independencia entre los intervalos. En el caso del modelo de Poisson se dice que no existe contagio.

 

3.    Puesto que una repetición del experimento de Bernoulli ocurre cada segundo, es razonable suponer que no pueden ocurrir dos accidentes en el mismo segundo.

 

4.    Mientras las condiciones de vialidad no cambien en el crucero de calles, es aceptable el supuesto de que el número promedio de accidentes por día, al que representaremos por l, permanece constante.

 

 

Función de Probabilidad

 

La deducción de la función de probabilidad de una variable aleatoria cuyo modelo de probabilidad es de Poisson queda fuera del alcance de este curso, por lo que enseguida se presenta una definición de esta función.

 

 

 

 

 

 

Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson, si su función de probabilidades está dada por:

 

 

donde e es la base de los logaritmos naturales y l el promedio de la distribución, la cual debe ser mayor que cero.

 

Nótese que una vez especificado el promedio l puede calcularse cualquier probabilidad, pero para cada valor de l se tiene una función de probabilidades distinta.

 

Ejemplo 5. 17.  Un entomólogo examina una planta de algodón y cuenta el número de huevecillos de un insecto por planta. De estudios anteriores se sabe que bajo las condiciones del experimento el número de huevecillos por planta puede representarse por una distribución de Poisson con  l = 0.9. Si se selecciona una planta al azar, calcular la probabilidad de que se encuentren cuando mucho 3 huevecillos.

 

Solución.

 

Las probabilidades de que el entomólogo encuentre 0, 1, 2, 3, huevecillos por planta son:

 

 

 

Con los cálculos anteriores podemos ver que:

 

 

 

Función de Distribución Acumulada

 

            Si X es una variable aleatoria que tiene distribución de Poísson con parámetro l, entonces:

 

La función de distribución acumulada correspondiente es:

 

 

En muchos casos el cálculo de probabilidades de variables aleatorias que se apegan a una distribución de Poisson es largo y tedioso. En donde sea posible, al igual que en la distribución Binomial, se puede hacer uso de las tablas que vienen en el apéndice, las cuales se basan en la función de distribución acumulada y tan sólo hay que aplicar las propiedades ya vistas para esta función para simplificar los cálculos.

 

Para efectos de representación y un mayor control de los datos que intervienen en la tabla, haremos que

 

Ejemplo 5. 18.  Resolver el problema 5.17. utilizando las tablas que representan la función de distribución acumulada.

 

Solución.

 

Para determinar la probabilidad, localizamos la fila correspondiente a x = 3 y luego buscamos la intersección con la columna l = 0.9 y leemos que:

 

P(X £ 3) = F(0.9, 3) = 0.9865

 

Ejemplo 5. 19. Sea X una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con promedio 2 (l=2). Calcular:

a)        P(x = 4)               b)  P(x4)                  c)  P(x<4)

 

Solución.

 

a)        Utilizando las propiedades de la función de distribución acumulada podemos establecer que:

P(x = 4) = P(3< x £ 4) = F(4, 2) - F(3, 2) = 0.9473 - 0.8571 = 0.0902.

 

b)        P(x4) = 1 – P(x3) = 1 - F(3, 2) = 1 - 0.8571 = 0.1429

 

c)        P(x<4) = P(x3) = F(3, 2) = 0.8571

 

 

 

 

Media y Variancia

 

            La distribución de Poisson tiene la característica de que la esperanza y la varinancia son iguales, esto es:

 

 

 

 

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